最近，网上流传这样一道据说是小学六年级的数学题：
如下图，矩形的长和宽分别为8和4，求阴影部分$S$的面积。
作图：连结DG，FG，OG，过点G向CD做垂线GF。
显然有：DG⊥GC，∠CAD=∠GDC=θ=arctan 2，∠GOC=2θ，h=16/5
$$\begin{aligned}
S_{ΔABC}&=\frac{1}{2}\times 8 \times 4=16 \,\text{（三角形面积）}\\
S_1&=4\times 4-\frac{1}{4}\pi 4^2 \,\text{（正方形面积减去四分之一个圆的面积）}\\
S_2&=(2\theta)\frac{4^2}{2}-\frac{4h}{2} \,\text{（扇形面积减去三角形面积）}
\end{aligned}$$
所以，所求阴影部分面积为：
$$\begin{aligned}
S&=S_{ΔABC}-S_1-S_2\\
&={\color{Blue}{\frac{32}{5}+4\pi-16\arctan 2}}
\end{aligned}$$
从结果来看，这并不是一道只具备我国小学知识就可以解决的问题。
结合Mathematica计算的结果：$\frac{32}{5}-8 \arcsin \frac{3}{5}$（计算方法参见评论），感觉应该会有更简洁的方法才对，于是尝试了一下，找到下面这种方法，虽然称不上优美，但也算简洁。
如上图，连结OG并延长交AB与H，连结点O与切点E交线段AC与点K。
因为 AB//CD
所以 ∠BAC=∠ACD
又由于 ∠ACD=∠OGC=∠AGH
所以 ∠HAG=AGH
所以设 x=AH=HG
所以有 HF=4-x
由勾股定理：$(4-x)^2+4^2=(4+x)^2$
解得 x=1，所以 $\theta=∠GOE=\arcsin \frac{3}{5}$
所以阴影部分面积等于$S_{ΔAEK}-S_{扇OGE}+S_{ΔOGK}={\color{Blue}{\frac{32}{5}-8 \arcsin \frac{3}{5}}}$