对四维空间感兴趣的可以看看这部科普片《维度：数学漫步》
如果你已经有高等代数和解析几何的知识，那我们就开始吧。
四维超正方体介绍
空间，即在高等代数中介绍的欧几里得空间。所谓高维空间的维，就是指欧几里得空间中的维数。显然，用这种方式来解释高维空间是非常自然的，同时也是很容易理解的。
然而，在学高等代数时，课本上所用的几何例子无一例外全都是三维空间中的例子。这也正是为什么，即便我们在大学时主修的是数学专业，仍然对高维空间没有直观的理解。以致于，当我们遇到别人在谈论高维空间时，自己却是一脸茫然！
既然高等代数中介绍了欧几里得空间中的基本理论，那么自己应该很自然地去多想一步，而事实证明这一步是非常关键的！本文从欧几里得空间的基本理论出发，来了解一下四维超正方体。
预备知识
四维空间$\mathbb{V}$中，向量$\mathbf{v}=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}} \right)$，其中${{x}_{i}}\in \mathbb{R}$。
两向量${{\mathbf{v}}_{1}},{{\mathbf{v}}_{2}}$垂直：${{\mathbf{v}}_{1}}\cdot {{\mathbf{v}}_{2}}=\mathbf{0}$
两向量${{\mathbf{v}}_{1}},{{\mathbf{v}}_{2}}$平行：$\exists \lambda $使得${{\mathbf{v}}_{1}}=\lambda {{\mathbf{v}}_{2}}$
向量$\mathbf{v}$的模：$\left| \mathbf{v} \right|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$
两点${{P}_{1}},{{P}_{2}}$间的距离可以通过向量的模来定义：$d\left( {{P}_{1}},{{P}_{2}} \right)=\left| {{P}_{2}}-{{P}_{1}} \right|$。
两非零向量${{\mathbf{v}}_{1}},{{\mathbf{v}}_{2}}$的夹角：$\cos \left\langle {{\mathbf{v}}_{1}},{{\mathbf{v}}_{2}} \right\rangle =\frac{{{\mathbf{v}}_{1}}\cdot {{\mathbf{v}}_{2}}}{\left| {{\mathbf{v}}_{1}} \right|\left| {{\mathbf{v}}_{2}} \right|}$
平面方程：$a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}+e=0$，其中$\left( a,b,c,d \right)$是平面的法方向。
实际上，玩耍四维超正方体的预备知识也就这些。
数学专业的朋友，肯定也学过好多其它空间理论，那么玩耍的空间就真的好大好大。有兴趣的自己去玩吧，反正以后我是会去玩的。
构建单位超正方体
从二维空间中的单位正方形和三维空间中的单位立方体，不难想象四维空间中的单位超正方体。它应该是由体面线点组成的，而且满足正交和单位模的性质，即：过同一顶点的所有棱互相垂直，过同一顶点的所有面互相垂直，过同一顶点的所有体互相垂直；所有棱的长度等于1，所有面的面积等于1，所有体的体积等于1。
超正方体的构造方法可以通过以下方式来想象：
从零维到一维：两个点A和B可以被连接起来，我们就得到一个新的线段AB。
从一维到二维：两个平行的线段AB和CD可以被连接起来，我们就得到了一个正方形，以顶点为标记记作正方形ABCD。
从二维到三维：两个平行的正方形ABCD和EFGH可以被连接起来，我们就得到了一个立方体，以顶点标记为立方体ABCDEFGH。
从三维到四维：两个平行的立方体ABCDEFGH和IJKLMNOP可以被连接起来，我们于是就得到了一个超正方体，以顶点标记为超正方体ABCDEFGHIJKLMNOP。
四维方体的结构不易想象，但可以投射至3维或2维空间。在我们将其投影到二维空间中后，把顶点位置调整，可以了解更多。如此获得的图像，不再反映四维方体空间构造，而是反映顶点间的联系。——维基百科
两个条件：构建超正方体，只需要上面的条件中的两个即可——过同一顶点的所有棱互相垂直，所有棱的长度等于1。
顶点：如果将单超正方体靠在坐标轴上（所有坐标为正的那一处，即三维坐标中说的第一象限），那么有5个点已经确定了，它们分别是：(0,0,0,0)，(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)。进一步，不难想到每个点的坐标只可能是由0和1组成的4维向量，而且恰好所有的组合正是单位超正方体的所有顶点（共2^4个）。实际根据这5个顶点再加上两个条件即可推算出其它所有的点，但这样做的话，数学就显得不那么美妙了。
棱：显然超正方体每个顶点处都有4条棱，那么它共有多少条棱呢？只需要把每顶点拆开成4个顶点，即可做得到每条棱有两个独立的顶点，因此共有2^4*4/2=32条棱。（记得高中化学里有类似的题目）
那么如何确定哪两个顶点之间存在一条棱呢？很简单，只需要两点的距离等于1即可。
面：由于棱的正交性，超正方体的每个面仍然是正方形，共有24个面。方法和上面类似。
体：超正方体中的体（3-胞）也都是3维立方体，共有8个体。方法和上面类似，但比较难想象。
观测
一般来说，可以将n维空间中的物体投影到n-1维空间中观看。比如，屏幕是二维的，但我们可以通过物体在二维空间中的投影图像构建出三维物体（当你在屏幕上看到一个苹果时，你反应的不是一个平面的苹果）。
可惜这项人人都会的本领却是后天非常难学会的。对于天生的肓人，当其成年后恢复了视力，但在他的视野里都是二维的。因此，即使我们把四维空间中的物体投影到三维空间，你几乎也无法想象它在四维空间是什么样子。进一步，既然我们只能感受三维空间，那么我们自然会认为世界是三维的，但实际上呢？
闲话少说，开始玩耍吧。
Mathematica在很多领域确实是个好工具，让人爱不释手。
首先，构建一个超正方体：
n = 4;(*维数*)
Vs = Tuples[{0, 1}, n];(*所有顶点*)
AllEs = Subsets[Vs, {2}];(*所以边*)
d = Norm[#[[1]] - #[[2]]] & /@ AllEs;
Es = AllEs[[Flatten[Position[d, 1]]]];(*可能的边*)
xk = Table[ToExpression["x" <> ToString[k]], {k, n}];(*投影平面－变量*)
再设置投影平面，并求解方程：
ak = {1, 1, 0.1, 1.};(*投影方向，修改此处改变旋转曲线*)
x0 = {0, 0, 0, 0};(*投影平面－过某点*)
plane = ak.(xk - x0);(*投影平面*)
fc1 = {ak.(xk - x0) == 0};
pro[list_] :=
Module[{fc1 = {ak.(xk - x0) == 0}, plane = ak.(list - x0)},
fc = fc1~Join~Thread[list - xk == $\lambda $ ak];
If[plane == 0, Thread[xk -> list], Solve[fc, xk~Join~{$\lambda $}]]];
proVs = Flatten /@ (xk /. pro /@ Vs);
proEs = Es /. Thread[Vs -> proVs];
RM = RotationMatrix[{ak, {0, 0, 0, 1}}];(*旋转矩阵*)
RproVs = Transpose[RM.Transpose[proVs]];(*旋转，使得第4个维度恒为0*)
RproEs = Transpose[RM.Transpose[#]] & /@ proEs;(*旋转，使得第4个维度恒为0*)
绘制图像：
Graphics3D[
Flatten[{{RGBColor[{0.5, 1, 0}], Opacity[.9],
Cylinder[#, 0.02]} & /@ (RproEs[[;; , ;; , ;; 3]]), {PointSize[
0.03], Sphere[#, 0.06]} & /@ (RproVs[[;; , ;; 3]])}],
Boxed -> False, AspectRatio -> Automatic, Background -> Black,
ImageSize -> {500, 500}, ViewVector -> {{10, 5, 5}, {0, 0, 0}}]
再把多幅图导出为gif动画即可，这里使用修改“投影方向”来替代旋转超正方体。下面的图像，投影方向制为：ak = {Cos[t], Sin[t], 1, 1};。
>>>程序下载（含导出动画部分）：百度网盘
参考
后话，原来在Mma10中已经有了关于高维空间的函数，比如超立方体函数——HypercubeGraph