一、题目介绍与假设
【原题目】
来自《75道逻辑思维题》第34题：
一个巨大的圆形水池，周围布满了老鼠洞。
猫追老鼠到水池边，老鼠未来得及进洞就掉入水池里。
猫继续沿水池边缘企图捉住老鼠（猫不能下水）。
已知两者速度的关系为：$v_\text{猫}=4v_\text{鼠}$（老鼠的最大速度是猫的四分之一）。
问老鼠是否有办法摆脱猫的追逐？
【假设】 为简单起见，不妨设：
①猫鼠都为无大小和形状的点；
②初始时猫位于水池正右侧岸边，老鼠位于圆心；
③当猫鼠恰好同时到达岸边时，老鼠可以逃入老鼠洞（即猫不能在岸边等待老鼠）；
④水池半径$R=1 m$，猫鼠的最大速度分别为$v_\text{猫}=4 m/s$、$v_\text{鼠}=1 m/s$；
⑤猫总是尽全力保持与老鼠的距离最小；
⑥当老鼠、圆心、猫三点共线时（猫鼠在圆心两侧）猫总是向逆时针方向追逐老鼠。
二、逃脱方法
下面分别介绍我想到的3种逃脱方法：
- 方法一：最容易想到（只需要知道圆周长的计算公式）；
- 方法二：用了些数学技巧（微分方程）；
- 方法二：进一步优化方法二，也许是时间最短的逃脱方法了。
2.1 方法一：一种简单的逃脱方法
首先，老鼠径直游向岸边是不行的。因为，老鼠需要游一个半径的路径，用时$R/v_\text{鼠}=1 s$；而猫到达圆周任意一点最多只需要跑半个圆周，用时$\pi R/v_\text{猫}=\pi/4 \approx 0.79 s$。
通过上面的计算，虽然老鼠未能逃脱，但可以发现，如果老鼠能够想办法在游到某个距离岸边小于等于的$\pi/4$位置时，将猫甩在圆心的另一侧，这时老鼠全力游向岸边就可以成功逃脱了。
由于老鼠的最大速度是猫的四分之一，所以当老鼠在距离圆心$R/4=1/4$的圆形区域内时，其角速度是可以超过猫的角速度的，于是便得到了下面的逃脱方法：
- 第一步：老鼠全速游到距离圆心$(4-\pi)R/4$处；
- 第二步：保持此距离，并全速绕圆心转圈，直至老鼠将猫甩得最远（ 此时老鼠、圆心和猫共线 ）；
- 第三步：全速冲向最近的岸边即可成功逃脱（猫鼠恰好同时到达岸边）。
该方法最少需要$(\pi-2)^2/(\pi-3)/4\approx2.30$秒（由于老鼠一直以全速1 m/s 逃脱，所以在数值上距离和时间相等），参考图1：
2.2 方法二：探索最短时间
如果将方法一中的前两步合并定能缩短逃脱时间，即老鼠在离开圆心的同时将猫甩开。
假定猫鼠始终保持最大速度，具体逃脱方法：
- 第一步：老鼠保持与猫和圆心三点共线（圆心在两者中间，前面说过当老鼠在距离圆心$R/4$的圆形区域内时是可以办到的）全速远离圆心；
- 第二步：当老鼠到达可直线逃脱的位置（距离岸边3/4）时径直游向岸边即可。
对老鼠前半部分的逃脱策略，可以列出在极坐标下老鼠位置$(r,\theta)$的微分方程组：
$$
\left\{ \begin{align}
\frac{v_\text{猫}}{R}& =\frac{d\theta }{dt} &\text{（①：老鼠与猫保持角速度相同）}\\
v_\text{鼠}^{2}& = {{\left( \frac{dr}{dt} \right)}^{2}}+{{\left( r\frac{d\theta }{dt} \right)}^{2}}& \text{（②：老鼠一直以最大速度逃脱）}\
\end{align} \right. \tag{1}\label{1}
$$
初始条件：$r=0,\theta=\pi$，将①代入，并代入$v_\text{猫}=4 m/s$、$v_\text{鼠}=1 m/s$，得到：
$$
(\frac{dr}{dt})^2+16r^2=1 \tag{2}\label{2}
$$
解得$r=\sin(4t)/4,\theta=4t+\pi$，即$r=\sin(\theta-\pi)/4$，这是一个以$(0,-1/8)$为圆心，以$1/8$为半径的圆。
该方法最少需要$\pi/8+3/4\approx 1.14$秒（由于老鼠一直以全速1 m/s 逃脱，所以在数值上距离和时间相等），参考图2：
2.3 方法三：对方法二的优化
方法二中，老鼠到达岸边时，猫还有一段距离才能赶到，可见方法二还有较大的优化空间。因此，在方法二的基础上，修改第二步，具体逃脱方法如下：
- 第一步：老鼠保持与猫和圆心三点共线（圆心在两者中间，前面说过当老鼠在距离圆心$R/4$的圆形区域内时是可以办到的）全速远离圆心；
- 第二步：老鼠不必游到距离岸边3/4处，在中途尽可能早的延当前切线方向跑向岸边。
下面计算第二步中的“尽可能早”，即当老鼠恰好能够逃脱时，猫鼠将会同时达到岸边（下图点B），此时猫的路程是老鼠的4倍。
如下图（本来OE应该等于1/8，但为了方便展示，将图中OE取得更长一些），圆O的半径等于1，圆E的半径等于$1/8$，蓝色粗曲线是老鼠游过的轨迹（由一段半径为$1/8$的圆弧$\overset{\frown}{OA}$与切线$AB$组成），红色粗线是猫跑过的轨迹。
设$\angle OEA=2\theta$是老鼠在圆弧阶段游过的角度（显然$0<\theta<\frac{\pi}{2}$，后面化简用到时不再赘述），则有$\angle BFC=\angle OEA=2\theta$（同角的补角相等），连结EF，则有$\triangle EFA \cong \triangle EFO$。
设$\alpha+\pi$是猫跑过的角度，即$\angle BOC=\alpha$（显然$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，后面化简用到时不再赘述），由于半径等于1，所以$\alpha+\pi$也是猫跑过和路程。
于是由猫的路程是老鼠的4倍这一关系可以得到如下方程：
$$
\begin{aligned}
\alpha+\pi&=4(\overset{\frown}{OA}+AB)\\
&=4\left[\frac{1}{8}(2\theta)+BF-AF \right]\\
&=\theta+\frac{4\sin \alpha}{\sin 2\theta}-\frac{1}{2}\tan \theta
\end{aligned} \tag{3}\label{3}
$$
上面方程中有两个未知数：$\theta, \alpha$，所以还需要再找到它们的另一关系，如上图OF有两种表达方式（等号左边在$\triangle EOF$中，等号右边在$\triangle BHF$和$\triangle BHO$中）：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{8}\tan \theta&=\cos \alpha – \frac{\sin \alpha}{\tan 2\theta}\\
&=\sqrt{1+\frac{1}{\tan^22\theta}}\cos(\alpha+\beta)\\
&=\frac{1}{\sin 2\theta}\cos(\alpha+\beta),\quad \text{这里}\beta=\arccos(\sin 2\theta)=\frac{\pi}{2}-2\theta
\end{aligned} \tag{4}\label{4}
$$
所以有：
$$
\begin{align}
\frac{1}{4}\sin^2\theta=\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}-2\theta)
\end{align} \tag{5}\label{5}
$$
即：
$$\alpha=\arccos(\frac{\sin^2\theta}{4})+2\theta-\frac{\pi}{2} \tag{6}\label{6} $$
代入方程(3)得到：
$$
\arccos(\frac{\sin^2\theta}{4})+2\theta-\frac{\pi}{2}+\pi
=\theta+\frac{4\sin\left[\arccos(\frac{\sin^2\theta}{4})+2\theta-\frac{\pi}{2}\right]}{\sin 2\theta}-\frac{1}{2}\tan \theta \tag{7}\label{7}
$$
该方程过于复杂，这里只能计算其近似解了：$\theta\approx 0.491738$，$\alpha \approx 0.927714$。
进而计算出老鼠用时约为$1.01733$秒（由于老鼠一直以全速1 m/s 逃脱，所以在数值上距离和时间是相等的），参考图3：
2.4 方法三也许是时间最短的逃脱方法了
这类题更像是变分法的习题，但由于我学艺不精，没能把不等条件抽象成相等条件的变分问题，以后有时间再复习复习变分法知识，如果想通了再在此更新。
虽然没能使用变分法，但我猜这已经是老鼠在时间上的最优逃脱方法了。
如下图所示，还是在假定猫优先逆时针追逐老鼠，那么老鼠在时间上比方法三更优的路线必然在灰色的“更优区域”内，而且猫和老鼠同时到达岸边的位置$B’$也必然在弧$\overset{\frown}{BC}$上，同时老鼠为了节约时间，所以其最初的路线必然会在圆E上，然后沿切线游到点$B’$。这样一来，不正是方法三的思路么，而方法三计算的就是这个思路的最优路径呀。所以，我猜方法三已经是该问题在时间上的最优解了。
延伸
如果将该问题做如下延伸，定然有趣的紧，愿抛砖引玉。
- ①老鼠以怎样的策略才能以最短路径成功逃脱？（有限体力）
- ②老鼠以怎样的策略才能以最短时间成功逃脱？（有限氧气）
- ③要想成功逃脱，老鼠的最大速度的最小值是多少？（有限速度）
- ④讨论多只猫或多只老鼠的情形。（策略）
- ⑤讨论不同的水池形状。（边界）
- ⑥讨论在高维空间中的情形。（高维空间）
- ⑦本问题有哪些应用？（应用）
- ⑧问题的起源是什么？（起源）