定义

内摆线，又名内旋轮线：是一小圆在一大圆内滚过时，小圆圆周上某点的轨迹。

当大圆半径是小圆的整数倍时，又名星形线，图像是无交叉的封闭曲线；当两圆的半径比是非整数的有理数时，图像是有交叉的封闭曲线；当两圆的半径比是无理数时，是一条没有尽头的曲线，如果硬是将其画完将会填充满某一环形区域。

与之相关的的还有：摆线和外摆线。特别是外摆线，稍加推广（外摆线的外摆线）将会变得很有意思，点这儿看图。

内摆线用参数方程表达比较方便，其一般形式为：

\[\left\{ \begin{align} & x=R\cos t+r\cos \left( -\frac{R}{r}t \right) \\ & y=R\sin t+r\sin \left( -\frac{R}{r}t \right) \\ \end{align} \right.\]

其中$R+r$是大圆的半径，$r$是小圆的半径。

下面的动态图片（$R=3$，$r=1$），有助于理解内摆线的定义：

问题

一根单位长度的木条，竖直靠在墙上，它在竖直平面内滑下至水平地面的过程中，会扫过某个区域$D$，见下图。求$D$的曲边的函数表达式，以及$D$的面积$S$。

解：

最先想到的是利用切线列出微分方程，进而求解。计算几步之后，发现我的道行尚浅，难以搞定这个微分方程。于是，换了个方法，搞定之，个人感觉方法很漂亮（估计此方法会与某位前人暗合，但的确是独立想出来的）。

木条扫过的区域可以用以下点集表示：

$D = \left\{ \left( x,y \right)|x,y>0\ ,\ \exists \theta \in \left( 0,\pi /2 \right)\ s.t.\ \frac{x}{\cos \theta }+\frac{y}{\sin \theta }\le 1 \right\}$

由于，当$x$给定时，点集为竖直的一条线段，所以线段的上端点就是曲边边界上的点

进而曲边边界的纵坐标为：$y=\underset{\theta \in \left( 0,\pi /2 \right)}{\mathop{\max }}\,\left( \sin \theta -x\tan \theta \right)$

记$g\left( \theta \right)=\sin \theta -x\tan \theta $，则${g}’\left( \theta \right)=\cos \theta -\frac{x}{{{\cos }^{2}}\theta }$

令${g}’\left( \theta \right)=0$，解得$\theta =\arccos {{x}^{1/3}}$

所以$y=\sin \arccos {{x}^{1/3}}-x\tan \arccos {{x}^{1/3}}$

化简得$y=\sqrt{1-{{x}^{2/3}}}-\sqrt{1-{{x}^{2/3}}}{{x}^{2/3}}={{\left( 1-{{x}^{2/3}} \right)}^{3/2}}$

所以面积为$S=\int_{0}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2/3}} \right)}^{3/2}}dx}=\frac{3\pi }{32}$

如此漂亮的内摆线

此处不仅有内摆线，还有内摆线的内摆线，并且均按相位做成动态图片