问题

证明对任意有理数$q$，$\sin \left( q\pi \right)$都是代数数。（由于 $180^\circ=\pi$，所以有理度数的正弦值 $\sin(q^\circ)$ 也都是代数数）。

忘记是怎么想到这个命题的了，感觉应该正确，于是证之。

什么是代数数：

定义：整系数多项式的复根称为代数数，其是代数与数论中的重要概念。

• 不是代数数的实数称为超越数，例如圆周率。
• 几乎所有的实数和复数都是超越数，这是因为代数数的集合是可数集，而实数和复数的集合是不可数集。
• 任何可以从整数或有理数通过有限次四则运算和正整数次开方运算得到的数都是代数数。反之则不成立：有些代数数不能用这种方法得出，这些代数数是次数为5次或超过5次的多项式的根。这是伽罗瓦理论的结果（参见五次方程和阿贝尔-鲁菲尼定理）。一个例子是 $x^{5}-x-1=0$ 的唯一实根（大约为1.167303978261418684256）。

证明

记 $m\in \mathbb{Z},n\in\mathbb{N^+}$，则任意有理数都可表示为 $q:=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}$，由复函数中的棣莫弗公式可得，

\[\begin{aligned}
1&=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\times n\times\frac{m}{n}}
\\
&=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\times n\times q}
\\
&{\color{blue}\downarrow\,\text{棣莫弗公式}}
\\
&=(\cos q+\mathrm{i}\sin q)^n
\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\mathrm{i}^k\sin^k q\cos^{n-k} q
\\
&{\color{blue}\downarrow \text{按 k 的奇偶拆分}}
\\
&=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\left[
\underbrace{\binom{n}{2k}\mathrm{i}^{2k}\sin^{2k}q\cos^{n-2k}q}_{\color{blue}\text{① 偶数部分（实部），其和等于 1}}+
\underbrace{\binom{n}{2k+1}\mathrm{i}^{2k+1}\sin^{2k+1}q\cos^{n-2k-1}q}_{\color{blue}\text{② 奇数部分（虚部），其和等于 0}}
\right]
\end{aligned}\]

对于上式中的“① 偶数部分（实部）”可化简为整系数多项式方程，

\[\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}\mathrm{i}^{2k}\sin^{2k}q\cos^{n-2k}q&=1
\\
&\Downarrow
\\
\binom{n}{2k}(-1)^{k}(1-\cos^{2k}q)\cos^{n-2k}q&=1\;{\color{blue}\rightarrow\text{关于}\cos\theta\,\text{的整数系数多项式方程}}
\\
&{\color{blue}\text{或者}}
\\
\binom{n}{2k}(-1)^{k}\sin^{2k}q(1-\sin^{n-2k}q)&=1\;{\color{blue}\rightarrow\text{关于}\sin\theta\,\text{的整数系数多项式方程}}
\end{aligned}\]

因此，$\sin q$ 和 $\cos q$ 都是代数数。

Wate_Soyan 给出了一种简洁的证明方法，摘录如下：

由于${{e}^{i\pi /n}}$和${{e}^{-i\pi /n}}$是方程${{x}^{n}}+1=0$的两个根，因此它们都是代数数，

所以它们的和与差也都是代数数，即

\[\left( \cos \frac{\pi }{n}+i\sin \frac{\pi }{n} \right)+\left( \cos -\frac{\pi }{n}+i\sin -\frac{\pi }{n} \right)=2\cos \frac{\pi }{n}\]

\[\left( \cos \frac{\pi }{n}+i\sin \frac{\pi }{n} \right)-\left( \cos -\frac{\pi }{n}+i\sin -\frac{\pi }{n} \right)=2i\sin \frac{\pi }{n}\]

下略……

另外，Wate_Soyan 还给出了用 Mathematica 的证明方法：

Refine[Sin[m \[Pi]/n] \[Element] 
 Algebraics, {m, n} \[Element] Integers && m > 0 && n > 0]
 Refine[Cos[m \[Pi]/n] \[Element] 
 Algebraics, {m, n} \[Element] Integers && m > 0 && n > 0]

再次看到Mma的强大！

在 Mathematica 中，使用 ToRadicals 或  FunctionExpand 或 TrigExpand 函数，还可以将很多值为代数数的三角函数展成根式形式。