共形映射简介

共形映射也叫保角变换，它保持了角度以及无穷小物体的形状，但是不一定保持它们的尺寸。更通俗地说，如果原图像中两条直线垂直（或平行或某个夹角），那么在经过共形映射之后的图像中这两条直线也垂直（或平行或某个夹角）。下图（来自维基百科）很直观的反映了这一性质。

在复分析中，如果复函数 $f(z)$ 在某区域上是全纯函数（在这一区域上可微），且它的导数处处不为零，那么函数 $f(z)$ 就是一个共形映射。于是，我们知道共形映射在复分析中比比皆是。

共形映射的应用

在绘制世界地图时，把地球仪直接撕开显然不是一种好的方法。
通常的做法是，通过某种投影把球面投影到平面上来，再进行绘制。
关于地图投影有好多种，比如，麦卡托投影法和球极平面投影都是共形映射，好处是微观上没有形变，但尺寸和面积就畸形了，特别是在南北极处。

只讲理论总是不够生动，于是把自己的照片放到 Mma 里玩耍一番。

理论作图方法：

假想把原图铺满复平面，记复平面上的点为${{z}_{0}}$，则经过共形映射$f$变换之后的点为$f\left( z \right)$。
那么将复平面上某个区域中的每一点都映像都画出来就好了。

但实际上，这一方法有很多弊端，比如：映像的区域不好控制（需要根据具体的$f$具体分析）、映像图形的质量一般很差（特别是对于被广大的部分，甚至很多点是空白的）。

实际作图方法：由于最后展现的是映像，那么可以先计算出$f$的反函数${{f}^{-1}}$，然后直接绘制映像中每一点在原像集中的颜色就好了。
而且还可以省去“把原图铺满复平面”这一步，只要对${{f}^{-1}}\left( z \right)$以图像尺寸为模求余就好了。

注：下面例子中，不全都是复平面上的共形映射。

函数：$\text{f}\left( z \right)=\arcsin z$

函数：$\text{f}\left( z \right)=\arctan z$

函数：$\text{f}\left( z \right)=\ln z$

函数：$\text{f}\left( z \right)=\frac{z+\text{i}-0.2}{2z+1}$

函数：$\text{f}\left( z \right)={{\left( z+\text{i}-0.2 \right)}^{1/3}}$

反函数：$\text{if}\left( z \right)=\sin z+\frac{{{\left( z+i-0.2 \right)}^{2}}}{3}$